Site du séminaire EDP

Planning du séminaire EDP

16 mai 2023

Créneau à pourvoir !

9 mai 2023

Créneau à pourvoir !

2 mai 2023

Créneau à pourvoir !

25 avril 2023

Pas de séminaire : vacances universitaires

18 avril 2023

Pas de séminaire : vacances scolaires

11 avril 2023

Créneau à pourvoir !

4 avril 2023

Créneau à pourvoir !

28 mars 2023

Créneau à pourvoir !

21 mars 2023

Créneau à pourvoir !

14 mars 2023

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7 mars 2023

Créneau à pourvoir !

28 février 2023

21 février 2023

Pas de séminaire : vacances universitaires

14 février 2023

Pas de séminaire : vacances scolaires

7 février 2023

31 janvier 2023

Créneau à pourvoir !

24 janvier 2023

17 janvier 2023

Pas de séminaire : soutenance HDR Emmanuel Franck

10 janvier 2023

3 janvier 2023

Pas de séminaire : période d'examens

27 décembre 2022

Pas de séminaire : vacances de Noël

20 décembre 2022

Pas de séminaire : vacances de Noël

13 décembre 2022

Pas de séminaire : soutenance thèse Guillaume Mestdagh

6 décembre 2022

Many engineering and scientific problems can be described by equations of fluid dynamics, namely, systems of time dependent nonlinear hyperbolic PDEs. The mathematical description of these processes as well as the numerical discretisation of the resulting PDEs will depend on the level of detail required to study them. In this talk I will focus on two directions towards higher fidelity numerical simulations: first, I present a novel structure-preserving arbitrarily high-order method that solves the nonlinear ideal magneto-hydrodynamics equations. Secondly, I will focus on our work using Machine Learning (ML) methods with the aim to improve or speed up numerical simulations, through the development of parameter-free routines as part of a numerical solver or surrogate models, with the goal of creating hybrid simulation pipelines that can improve over time.

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29 novembre 2022

In this talk I will survey some recent results on the neural ODE perspective of machine learning, popularised by Weinan E (2017). This point of view is particularly compelling since many central tasks in machine learning find a natural counterpart in control theory. For instance, supervised learning can be seen as a simultaneous control(lability) problem for a nonlinear ODE, in which one seeks to steer a large amount of initial data to equally as many targets by using a single control. Herein, one can quickly see the necessity of using dynamics which are nonlinear — in fact, many of the commonly used dynamics in machine learning practice are “unusual” compared to more classical control settings, and require new analysis. I will focus mainly (but not exclusively) on the optimal control perspective of supervised learning, and present convergence results for the error, and optimal controls, when the final time horizon is large. Implications to the possible generalization beyond data used for constructing the control, the required depth for the corresponding residual neural network (ResNet), and the turnpike property, will be discussed. The talk will be based on works done in collaboration with Carlos Esteve-Yague, Dario Pighin, and Enrique Zuazua.

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22 novembre 2022

This work is motivated by a collaboration with the French Photovoltaic Institute. The aim of the project is to propose a model in order to simulate and optimally control the fabrication process of thin film solar cells. The production of the thin film inside of which occur the photovoltaic phenomena accounting for the efficiency of the whole solar cell is done via a Physical Vapor Deposition (PVD) process. More precisely, a substrate wafer is introduced in a hot chamber where the different chemical species composing the film are injected under a gaseous form. Molecules deposit on the substrate surface, so that a thin film layer grows by epitaxy. In addition, the different components diffuse inside the bulk of the film, so that the local volumic fractions of each chemical species evolve through time. The efficiency of the final solar cell crucially depends on the final chemical composition of the film, which is freezed once the wafer is taken out of the chamber. A major challenge consists in optimizing the fluxes of the different atoms injected inside the chamber during the process for the final local volumic fractions in the layer to be as close as possible to target profiles. Two different phenomena have to be taken into account in order to correctly model the evolution of the composition of the thin film: 1) the cross-diffusion phenomena between the various components occuring inside the bulk; 2) the evolution of the surface. As a consequence, the underlying model reads as a cross-diffusion system defined on a moving boundary domain. The complete optimal control problem of the fluxes injected in the hot chamber is currently out-of-reach in terms of mathematical analysis. The aim of this talk is to theoretically investigate a simpler problem, which is the boundary stabilization of the model used to simulate the PVD process. We show first exponential stabilization and then finite-time stabilization in arbitrary small time of the linearized system around uniform equilibria, provided the underlying cross-diffusion system has an entropic structure with a symmetric mobility matrix. This stabilization is achieved with respect to both the volumic fractions of the different chemical species composing the thin film and the thickness of the latter. The feedback control is derived using the backstepping technique, adapted to the context of a time-dependent domain. In particular, the norm of the backward backstepping transform is carefully estimated with respect to time. Joint work with Jean Cauvin-Vila and Amaury Hayat.

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15 novembre 2022

Exact solutions to systems of conservation laws in multiple spatial dimensions often possess interesting additional properties which are a consequence of the equations and which can be formulated as PDEs. Examples are the evolution equations of vorticity or angular momentum, involutional constraints, stationary states or singular limits. Usually, the same numerical diffusion which stabilizes a Finite Volume method, prevents it from preserving any of those additional properties. I will show strategies how to analyse linear numerical methods on Cartesian grids, and how to modify the numerical diffusion in a truly multi-dimensional fashion in order to obtain vorticity preserving and low Mach number compliant methods. This enables the numerical methods to capture essential properties of the equations without excessive grid refinement.

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8 novembre 2022

Pas de séminaire : conférence NumKin (Munich)

1 novembre 2022

Pas de séminaire : vacances universitaires

25 octobre 2022

Pas de séminaire : vacances scolaires

18 octobre 2022

Highly-oscillatory phenomena present well-known numerical challenges, such as order reduction and energy preservation. The method of high-order averaging allows to separate the "drift" dynamics from the oscillations using formal calculations. This method is used to generates new, modified problems, namely a micro-macro problem or a pulled-back problem, which can be solved with better numerical accuracy. In this talk, I will introduce high-order averaging using a (somewhat recent) closed form approach, based on an ansatz, which facilitates the discussion around such methods. The focus will mostly be on the geometric properties of the method, notably the preservation of a Hamiltonian structure. Perhaps unsurprisingly, the averaging procedure is close to that of normal forms. Therefore if time allows, I will briefly present in which context these methods are equivalent. Of course, discussions around numerical accuracy will permeate the entire talk.

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11 octobre 2022

Lattice Boltzmann schemes rely on the enlargement of the size of the target problem in order to solve PDEs in a highly parallelizable and efficient kinetic-like fashion, split into a collision and a stream phase. This structure, despite the well-known advantages from a computational standpoint, is not suitable to construct a rigorous notion of consistency with respect to the target equations and to provide a precise notion of stability. In order to alleviate these shortages and introduce a rigorous framework, we demonstrate that any lattice Boltzmann scheme can be rewritten as a corresponding multi-step Finite Difference scheme on the conserved variables. This is achieved by devising a suitable formalism based on operators, commutative algebra and polynomials. Therefore, the notion of consistency of the corresponding Finite Difference scheme allows to invoke the Lax-Richtmyer theorem in the case of linear lattice Boltzmann schemes. Moreover, we show that the frequently-used von Neumann-like stability analysis for lattice Boltzmann schemes entirely corresponds to the von Neumann stability analysis of their Finite Difference counterpart. More generally, the usual tools for the analysis of Finite Difference schemes are now readily available to study lattice Boltzmann schemes. Their relevance is verified by means of numerical illustrations.

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4 octobre 2022

In this talk, i will present some results for the time discretization MAC schemes for the shallow water equations (SWE). The space discretization is staggered where the height is stored on the cell-center and the velocity on the cell-edges. Several time integration techniques are discussed like explicit, decoupled, pressure correction and second order Heun method. Numerical simulations will be investigated to assess the strong stability, well-balanced and accuracy first for the SWE and then for the SWE with Coriolis source term.

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27 septembre 2022

In the context of preserving stationary states, e.g. lake at rest and moving equilibria, a new formulation of the shallow water system, called Flux Globalization has been introduced by Cheng et al. (2019). This approach consists in including the integral of the source term in the global flux and reconstructing the new global flux rather than the conservative variables. The resulting scheme is able to preserve a large family of smooth and discontinuous steady-state moving equilibria. In this work, we focus on an arbitrary high order WENO Finite Volume (FV) generalization of the global flux approach. The most delicate aspect of the algorithm is the appropriate definition of the source flux (integral of the source term) and the quadrature strategy used to match it with the WENO reconstruction of the hyperbolic flux. When this construction is correctly done, one can show that the resulting WENO FV scheme admits exact discrete steady states characterized by constant global fluxes. We also show that, by an appropriate quadrature strategy for the source, we can embed exactly some particular steady states, e.g. the lake at rest for the shallow water equations. It can be shown that an exact approximation of global fluxes leads to a scheme with better convergence properties and improved solutions. The novel method has been tested and validated on classical cases and their perturbation: subcritical, supercritical and transcritical flows.

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20 septembre 2022

We study a collisionless kinetic model for plasmas in the neighborhood of a cylindrical metallic Langmuir probe. This model consists in a bi-species Vlasov-Poisson equation in a domain contained between two cylinders with prescribed boundary conditions. The interior cylinder models the probe while the exterior cylinder models the interaction with the plasma core. We prove the existence of a weak-strong solution for this model in the sense that we get a weak solution for the 2 Vlasov equations and a strong solution for the Poisson equation. The first parts of this work are devoted to explain the model and proceed to a detailed study of the Vlasov equations. This study then leads to a reformulation of the Poisson equation as a 1D non-linear and non-local equation and we prove it admits a strong solution using an iterative fixed-point procedure. Eventually we proceed to a qualitative description of the solution under the so-called "generalized Bohm condition" on the incomming fluxes and a numerical investigation of the obtained equation. Due to technical obstacles, we mainly focussed on the "quasi-radial" fluxes for the numerical analysis, which turns out to be enough to validate the model. Curves of the obtained trajectories of particles and curves of the collected current versus the applied voltage are presented.

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13 septembre 2022

Nous proposons de décrire les principaux aspects d’un projet de développement d’un outil de simulation de la propagation du Covid 19 dans différents contextes : établissements scolaires (écoles, collèges ou lycées), universités, et entreprises. L’approche proposée est basée sur une équation déterministe d’évolution sur un graphe dynamique dont les sommets sont des personnes ou des groupes de personnes, et dont les arêtes suivent la matrice des contacts évoluant au fil du temps. Nous décrirons certaines propriétés théoriques de versions simplifiées de ce modèle, et préciserons la manière dont il peut être interprété comme une équation de chimiotaxie discrète. Dans un second temps, nous évoquerons des applications effectives de cette approche, en particulier une étude récente effectuée au sein du CHU du Kremlin-Bicêtre impliquant 210 étudiants en médecine, dont les contacts ont été tracés pendant plusieurs mois à l’aide de petits badges portés en permanence par les volontaires. Ces travaux résultent d’une collaboration avec S. Faure (Orsay) et F. Bourdin (ENS-PSL), ainsi qu’avec l’entreprise Kerlink (pour le contact tracing).

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6 septembre 2022

Some fluid and kinetic systems of equations in the presence of (potentially multiple) small parameters admit so-called asymptotic regimes, where they reduce to a smaller set of equations, potentially with a different mathematical structure. However, classic numerical approaches, such as finite volume methods, do not naturally degenerate in these asymptotic regimes to consistent discretizations of the limit equations. Furthermore, even though stability conditions usually become more and more restrictive when we approach these asymptotic regimes, meaning smaller and smaller time steps, accuracy can be dramatically reduced and the results frequently unexploitable. Asymptotic preserving schemes are designed to both lift the restrictive stability conditions and remain accurate in the asymptotic regime. We introduce a new class of second-order in time and space numerical schemes, which are uniformly asymptotic preserving schemes. The proposed Implicit-Explicit (ImEx) approach, does not follow the usual path relying on the method of lines, either with multi-step methods or Runge-Kutta methods, or semi-discretized in time equations, but is inspired from the Lax-Wendroff approach with the proper level of implicit treatment of the source term. We are able to rigorously show that both the second-order accuracy and the stability conditions are independent of the fast scales in every asymptotic regime, including the study of boundary conditions. The method is also able to yield very accurate steady solutions in the nonlinear case when the source term depends on space. A thorough numerical assessment of the proposed strategy is provided by investigating smooth solutions, solutions with shocks and solutions leading to a steady state with variable source term in space. Our aim also includes plasma discharges with sheaths, where we have two small parameters related to Debye length and mass ratio, and we present some numerical simulations that assess and illustrate the potential of a method similar to the one we have introduced but applied to the isothermal Euler-Poisson equations.

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7 juin 2022

Pas de séminaire : conférence ECCOMAS (Olso)

31 mai 2022

Pas de séminaire : journées EDP (Obernai)

24 mai 2022

In this presentation, we consider a population (typically bacteria) structured by both a spatial variable and a phenotypical trait. Our model takes into account the effects of migrations, mutations, growth and competition. When the environment is assumed homogeneous, if the population survives, it spreads to the whole space, and we have a complete picture of the large-time propagation: the solution converges towards a front, which connects a positive steady state to zero, and spreads at a determined speed.

When the environment is heterogeneous, the situation is much more complex. Depending on the profile of heterogeneities, the invasion may be either slowed or completely blocked. In some cases, the population adaption to the local environment is crucial for invasion to occur. We first consider a linear profile of heterogeneities, and then investigate the fully nonlinear case numerically as well as analytically (in a perturbative framework for the latter).

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17 mai 2022

Le transport optimal est un outil naturel pour comparer de manière géométrique des distributions de probabilité. Il trouve des applications à la fois pour l'apprentissage supervisé (pour la classification) et pour l'apprentissage non supervisé (pour entrainer des réseaux de neurones génératifs). Le transport optimal souffre cependant de la "malédiction de la dimension", le nombre d'échantillons nécessaires pouvant croitre exponentiellement vite avec la dimension. Dans cet exposé, j'expliquerai comment tirer parti de techniques de régularisation entropique afin d'approcher de façon rapide le transport optimal et de réduire l'impact de la dimension sur le nombre d'échantillons nécessaires. Plus d'informations et de références peuvent être trouvées sur le site de notre livre "Computational Optimal Transport" https://optimaltransport.github.io/

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12 mai 2022

Les solutions des systèmes hyperboliques contiennent des discontinuités. Ces solutions faibles vérifient non seulement les EDP de départ, mais aussi une inégalité d'entropie qui agit comme un critère de sélection déterminant si une discontinuité est physique ou non. Il est très important d'obtenir une version discrète de ces inégalités d'entropie lorsqu'on approxime numériquement les solutions, sans quoi le schéma est susceptible de converger vers des solutions non physiques ou pire d'être instable. Obtenir une inégalité d'entropie discrète est en général un travail difficile, souvent inatteignable pour des schémas d'ordre élevé. Dans cet exposé, je présenterai une approche où ces inégalités sont obtenues a posteriori en minimisant une fonctionnelle bien choisie. La difficulté principale est de prendre en compte la notion de consistance. Cette méthode permet d'obtenir des "cartes de diffusion numérique" pour des schémas d'ordre quelconque. Elle permet aussi de trouver, par une autre procédure d'optimisation, la pire donnée initiale vis à vis de l'entropie. C'est un travail en collaboration avec Emmanuel Audusse, Vivien Desveaux et Julien Salomon.

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10 mai 2022

Pas de séminaire : journée de l'école doctorale

3 mai 2022

La résolution approchée de problèmes d’évolution par des schémas de différences finies nécessite un traitement spécifique des bords, ceci de façon à tronquer artificiellement le domaine de calcul et/ou à incorporer de façon satisfaisante les conditions de bords réalistes. Ce traitement du bord affecte les propriétés de consistance et de stabilité du schéma global et est susceptible, à ce titre, de nuire de façon parfois rédhibitoire à la qualité de l’approximation. La cause typique est l’apparition de modes discrets parasites au voisinage du bord. Je présenterai comment un développement à plusieurs échelles de la solution numérique permet d’analyser ce phénomène, en concentrant la discussion sur quelques exemples simples pour le transport linéaire avec Dirichlet ou Neumann en sortie.

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26 avril 2022

It has been proved by Zuazua in 1993 that the internally controlled semilinear 1D wave equation $\partial_{tt}y-\partial_{xx}y + f(y)=v 1_{\omega}$, with Dirichlet boundary conditions, is exactly controllable in $H^1_0(0,1)\cap L^2(0,1)$ with controls $f\in L^2((0,1)\times(0,T))$, for any $T>0$ and any nonempty open subset $\omega$ of $(0,1)$, assuming that $f\in \mathcal{C}^1(\R)$ does not grow faster than $\beta\vert r\vert \ln^{2}\vert r\vert$ at infinity for some $\beta>0$ small enough. The clever proof, based on the Leray-Schauder fixed point theorem, is not constructive.

In this talk,
- we present a constructive proof and algorithm for the exact controllability of semilinear 1D wave equations.
Assuming that $f^\prime$ does not grow faster than $\beta \ln^{2}\vert r\vert$ at infinity for some $\beta>0$ small enough and that $f^\prime$ is uniformly H\"older continuous on $\R$ for some exponent $p\in[0,1]$, we design a least-squares algorithm yielding an explicit sequence converging to a controlled solution for the semilinear equation, at least with order $1+p$ after a finite number of iterations.
- We extend the proof to the multidimensional case assuming that $f^\prime$ does not grow faster than $\beta \ln^{1/2}\vert r\vert$ at infinity, by using a result of Fu, Yong and Zhang in 2007.
- We show that the method also applies for the (much more intricate situation of) heat equation by considering appropriate cost functional for the controlled pair of the corresponding linearized equation, depending on parametrized Carleman weights. Large enough parameters ensure the convergence of the algorithm. We end the talk by remarking that a zero order fixed point operator derived from a zero order linearization is indeed contracting for any large enough Carleman parameter. This allows notably to greatly simplified the seminal proof of controllability due to Fernandez-Zuazua in 2000.

This talk is based on a series of recent works with Kuntal Bhandari (Clermont-Ferrand), Arthur Bottois (Clermont-Ferrand), Sylvain Ervedoza (Bordeaux), Jérome Lemoine (Clermont-Ferrand), Irène Gayte (Sevilla) and Emmanuel Trélat (Sorbonne Paris).

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19 avril 2022

Pas de séminaire : vacances scolaires

12 avril 2022

Pas de séminaire : vacances universitaires

5 avril 2022

Solving Poisson equation is ubiquitous in Physics simulation. All numerical methods (Spectral, Finite Differences, Finite Elements, Discontinuous Galerkin) complement themselves with an ad hoc Poisson solver.
In uniform Cartesian grids with periodic boundary conditions the Fast Fourier Transform (FFT) with its complexity in O(N log(N)) –N denotes the number of points– and its spectral accuracy beats all concurrent numerical methods. In the 80’s, the multigrid methods [HACKBUSCH 85] with their complexity in O(N log(N)) (the log(N) factor stands for the number of iterations necessary to reach the accuracy corresponding to the increase of the number of points N) opened the door to efficient numerical methods suited to non periodic boundaries and immersed boundaries.
Their principle (to separate scales to apply Gauss Seidel iterations) inspired the preconditioning of powerful Linear Solvers (e.g. preconditioning of GMRES) establishing the algebraic multigrid methods. These are blind to the underlying grid structure and can be used in any contexts such as the adaptive grids for instance.
In the 90’s, the Fast Multipole Method [GREENGARD 1987] based on the integral solution of the Poisson Equation and on the properties of its Green kernel, appeared as a concurrent method efficiently addressing the adaptive context and the presence of boundaries.

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29 mars 2022

This work settles in the high-stakes emerging field of Scientific Machine Learning which studies the application of machine learning to scientific computing. More specifically, we consider the use of deep learning to accelerate numerical simulations. We focus on approximating some components of Partial Differential Equation (PDE) based simulation software by a neural network. This idea boils down to constructing a data set, selecting and training a neural network, and embedding it into the original code, resulting in a hybrid numerical simulation. Although this approach may seem trivial at first glance, the context of numerical simulations comes with several challenges stemming from an accuracy-performances trade-off. To tackle these challenges, we thoroughly study each step of the deep learning methodology while considering the aforementioned constraints. By doing so, we emphasize interplays between numerical simulations and machine learning that can benefit each of these fields. We identify the main steps of the deep learning methodology as the construction of the training data set, the choice of the hyperparameters of the neural network, its training, and the implementation of the neural network for the final use case (here, numerical simulations). In this talk, we will go through the contributions related to the third step (training) and the last step (design of a hybrid simulation code). For the third step, we formally define an analogy between stochastic resolution of PDEs and the optimization process at play when training a neural network. This analogy leads to a PDE-based framework for training neural networks that opens up possibilities for improving existing optimization algorithms. Finally, we apply these contributions to a computational fluid dynamics simulation coupled with a multi-species chemical equilibrium library. The obtained deep-learning-based hybrid code achieves an acceleration factor of 18.7 with controlled to no degradation from the prediction of the original simulation code.

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22 mars 2022

De nombreux problèmes pratiques en traitement du signal et d’images, comme les problèmes de déconvolution, consistent à essayer de reconstruire à partir d’observations altérées, bruitées et dépendant linéairement d'un signal source, ce même signal. Cette tâche étant mal posée, une famille de techniques consiste à reformuler la reconstruction à travers la résolution d’un problème d’optimisation. On cherche alors en général à reconstruire un signal dont les observations ne s’éloignent pas trop des données. Parfois, il apparaît également que le signal d'intérêt est parcimonieux dans un certain sens : par exemple s’il est composé de sources ponctuelles. Il est alors possible d’incorporer cet a priori dans le problème d’optimisation grâce à une régularisation favorisant ce genre de solutions. Dans cet exposé, nous verrons quelques garanties théoriques de reconstruction dans l’étude de tels problèmes faisant intervenir la norme de la variation totale définie sur l’espace des mesures de Radon. Nous verrons que cette régularisation favorise l’émergence de solutions parcimonieuses composées de sommes de masses de Dirac. Une originalité de cette approche réside dans son absence de discrétisation du domaine sur lequel sont définis les signaux considérés. Ceci permet notamment d’améliorer la simplicité des solutions en évitant les soucis liés aux grilles mal adaptées. Même si l’espace de recherche est de dimension infinie, nous verrons qu’il est possible de construire des méthodes de résolution, avec des garanties de convergence, basées sur l’algorithme de Frank-Wolfe. Enfin ces outils seront illustrés sur un problème de localisation de protéines sur des structures filamentaires en microscopie par fluorescence.

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15 mars 2022

A class of cell centered Finite Volume schemes has been introduced to discretize the equations of Lagrangian hydrodynamics on moving grid [Loubère, Maire, Rebourcet, 2016]. In this framework, the numerical fluxes are evaluated by means of an approximate Riemann solver located at the grid nodes, which provides the nodal velocity required to move the grid in a compatible manner. In this presentation, we describe the generalization of this type of discretization to hyperbolic systems of conservation laws written in Eulerian representation. The evaluation of the numerical fluxes relies on a nodal solver resulting from a node-based conservation condition. The construction of this nodal solver utilizes the Lagrange-to-Euler transformation introduced by Gallice [Gallice, 2003] and revisited in [Chan, Gallice, Loubère, Maire, 2021] to build positive and entropic Eulerian Riemann solvers from their Lagrangian counterparts. The application of this formalism to the case of gas dynamics provides a multidimensional Finite Volume scheme which is positive and entropic under an explicit condition on the time step. Moreover, this study allows us to rigorously recover the original scheme described in [Shen, Yan, Yuan, 2014] for the Euler equations while correcting its defects. An associated Finite Volume simulation code has been built in multi-dimensions for unstructured meshes. Parallelization has been accomplished using the MPI library embedded in PETSc. A large set of 2D/3D numerical experiments show that the proposed solver is less sensitive to spurious instabilities such as the infamous carbuncle, compared to the classical one. To further improve accuracy, the current scheme has been extended to second-order in time and space. The numerical assessment of this new method by means of representative test cases is very promising in terms of robustness.

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8 mars 2022

Dans cet exposé, on présente le développement de deux schémas volumes finis explicites d'ordre élevé pour des systèmes de lois de conservation avec terme source qui peuvent dégénérer vers des équations de diffusion. La construction se fait un choisissant le schéma limite ou en limitant la diffusion numérique. L'extension à l'ordre élevé s'effectue avec des reconstructions polynomiales et la méthode MOOD comme principe de limitation. On présente différents résultats sur maillage 2D non structuré. Ceci un travail en collaboration avec Christophe Chalons et Rodolphe Turpault.

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1 mars 2022

The equations of motion for compressible (barotropic) fluids have the structure of a simple conservative dynamical system when expressed in Lagrangian variables. This can be exposed interpreting the Lagrangian flow as a curve of vector-valued L2 functions, and the internal energy of the fluid as a functional on the same space. Particle methods are a natural discretization strategy in this setting, since in this case the flow is discretized using piecewise constant functions on a given partition of the domain, but they require some form of regularization to define the internal energy of the fluid. In this talk I will describe a particle method in which the internal energy is replaced by its Moreau-Yosida regularization in the L2 space, which can be efficiently computed as a semi-discrete optimal transport problem. I will also show how the convexity of the energy in the Eulerian variables can be exploited in the non-convex Lagrangian setting to prove quantitative convergence estimates towards smooth solution of this problem, and how this result generalizes to dissipative porous media flow.

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22 février 2022

Je présenterai et analyserai dans cet exposé un modèle mathématique pour les écoulements compressibles sous une contrainte de densité maximale. Il s’agit de modéliser pour des mélanges biphasiques des phénomènes de saturation (congestion) correspondant à la disparition d’une des deux phases du mélange. Étant donnée une contrainte de densité maximale fixée, les solutions couplent une dynamique compressible dans les zones où la densité est inférieure à cette densité maximale, avec une dynamique incompressible dans les zones où la valeur critique est atteinte, i.e. dans les zones saturées. L'exposé portera plus particulièrement sur la discrétisation et la simulation numérique de ces équations au moyen de schémas mixtes volumes finis / éléments finis.

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15 février 2022

Pas de séminaire : vacances universitaires

8 février 2022

Pas de séminaire : vacances scolaires

2 février 2022

We present a general new compact scheme method to achieve very high-order approximation named structural method. The main idea is to definitively separated the physics (the physical equations, including the boundary conditions) to the discretization (the structural equations). The first part is dedicated to the design of such schemes, where we show that the discretization equations are obtained from the kernel of a matrix. The second part is dedicated to one-dimensional problems in space such as convection diffusion, Burger, Euler system and the construction of fourth- or sixth-order schemes in space. The last part concerns a new class of very high order scheme in time (4th,6th), unconditionally stable and demonstrate the high efficiency and nice spectral properties of our schemes. Simulations of non-stationary problems: heat equation, wave equation, burger, Euler and Schrödinger equation, highlight the advantages of structural time-scheme regarded to traditional 4th or 6th order RK method.

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1 février 2022

In this communication, we present a conservative cell-centered Lagrangian finite volume scheme for the solution of the hyper-elasticity model equations on unstructured multidimensional grids. The method is derived from the Eucclhyd scheme discussed in [3,1,2], and is second-order accurate in space and is combined with the a posteriori Multidimensional Optimal Order Detection (MOOD) limiting strategy to ensure robustness and stability at shock waves. Second-order of accuracy in time is achieved via the ADER (Arbitrary high order schemes using DERivatives) approach. This method has been tested in an hydrodynamics context in [4] and the present work aims at extending it to the case of hyper-elasticity models. Such models are derived in a first part in a Lagrangian framework. The dedicated Lagrangian numerical scheme is derived in terms of nodal solver, GCL compliance, subcell forces and compatible discretization. The Lagrangian numerical method has been implemented in 3D under MPI parallelisation framework allowing to handle genuinely large meshes. A relative large set of numerical test cases is presented to assess the ability of the method to achieve effective second order of accuracy on smooth flows, maintaining an essentially non-oscillatory behavior, general robustness ensuring at least physical admissibility where appropriate. Pure elastic neo-Hookean and non-linear materials are considered for our benchmark test problems in 2D and 3D. These test cases feature material bending, impact, compression, non-linear deformation and further bouncing/detaching motions. This is joint work with Walter Boscheri and Pierre-Henri Maire. [1] P.-H. Maire. A unified sub-cell force-based discretization for cell-centered Lagrangian hydrodynamics on polygonal grids. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 65:1281–1294, 2011. [2] P.-H. Maire. A high-order one-step sub-cell force-based discretization for cell-centered lagrangian hydrodynamics on polygonal grids. Computers and Fluids, 46(1):341–347, 2011. [3] P.-H. Maire, R. Abgrall, J. Breil, and J. Ovadia. A cell-centered Lagrangian scheme for two- dimensional compressible flow problems. SIAM Journal on Scientific Computing, 29:1781–1824, 2007. [4] R. Loubère W. Boscheri, M. Dumbser and P.-H. Maire. A second-order cell-centered lagrangian ADER-MOOD finite volume scheme on multidimensional unstructured meshes for hydrodynamics. Journal of Computational Physics, 358:103 – 129, 2018.

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25 janvier 2022

Plusieurs facteurs font que les écoulements sanguins veineux sont beaucoup moins étudiés que leurs équivalents artériels. Par exemple, l'arborescence veineuse présente de grande variation d'un individu à l'autre : prépondérance de certaines structures, asymétrie, absence d'autres structures. Cela rend une étude générique très complexe.
Cependant nous verrons dans cette présentation qu'en nous limitant aux écoulements sanguins cérébraux, nous arrivons à dégager empiriquement des groupes d'individus. De plus la restriction au compartiment intra-crânien nous permet d'utiliser l'hypothèse d'incompressibilité des vaisseaux sanguins veineux.
Ainsi nous verrons et comparerons plusieurs modèles pour ces écoulements mais aussi leurs possibles extensions. Nous aborderons finalement la possibilité d'utiliser des modèles réduits et les applications qui y sont associées.

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18 janvier 2022

Kinetic relaxation schemes are efficient numerical methods to solve an hyperbolic system. The method consists in solving a kinetic model with n_v velocities corresponding to n_v kinetic variables. However, kinetic schemes can be difficult to analyze. To do that, we propose to study the equivalent equation on n_v variables. The study of this equivalent equation allows then to obtain a simple stability analysis. We will also talk about the construction of adapted boundary conditions.

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11 janvier 2022

Pas de séminaire : Master Class EDP Optimisation et Données

4 janvier 2022

Pas de séminaire : période d'examens

28 décembre 2021

Pas de séminaire : vacances de Noël

21 décembre 2021

Pas de séminaire : vacances de Noël

14 décembre 2021

On s'intéresse à un problème de contrôle approché de l'équation de la chaleur par des "formes" : des contrôles internes, qui en espace sont des fonctions caractéristiques d'ensembles de mesures uniformément bornées. Pour faire cela, on voit la recherche de contrôles comme la recherche de contrôles optimaux sous contraintes pour un certain coût bien choisi. En peut appliquant la dualité de Fenchel-Rockafellar, qui associe à un problème d'optimisation (dit primal) un problème dit dual, et le principe "de la baignoire", qui concerne l'optimisation sous contraintes d'un produit scalaire, on trouve le "bon problème de contrôle optimal à résoudre" en travaillant sur le problème dual. Une fois trouvé le "bon problème dual", la solution du problème dual permet de construire le contrôle optimal (sous de bonnes hypothèses). On peut alors étudier le coût de contrôlabilité en fonction du temps final, ainsi que les liens de ce problème de contrôle par des formes avec un problème de contrôle en temps minimal.

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7 décembre 2021

Je présenterai d'abord les idées générales de la théorie des jeux à champ moyen, comme elle a été introduite il y a une quinzaine d'années par J.-M. Lasry et P.-L. Lions, en me concentrant en particulier sur le cas où les agents cherchent à éviter la congestion due à une densité trop élevée, ce qui se retrouve dans plusieurs modèles de trafic routier ou piétonnier. Sous certaines hypothèses sur le structure du coût, le jeu est un jeu à potentiel, où l'équilibre peut être trouvé en minimisant une énergie globale, typiquement convexe, mais d'autres modèles tout aussi raisonnables n'ont pas cette structure variationnelle. Le but principal de l'exposé sera d'expliquer les enjeux de la théorie et les liens entre EDP, calcul des variations, et théorie des jeux, avec une attention particulière au besoin de régularité des solutions. Je mentionnerai aussi les stratégies les plus courantes pour prouver des résultats d'existence (point fixe de Kakutani, méthodes variationnelles) et pour l'approximation numérique dans certains cas.

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30 novembre 2021

Nous étudions des systèmes couplés d'équations non linéaires de plus bas niveau de Landau, pour lesquels nous prouvons des résultats d'existence globale avec des bornes polynomiales sur la croissance possible des normes de Sobolev des solutions. Nous présentons également des trajectoires explicites non bornées qui montrent que ces bornes sont optimales. Dans un second temps, nous montrons l'existence de multi-solitons, puis nous obtenons un résultat d'unicité. Il s'agit d'un travail commun avec Valentin Schwinte (Université de Lorraine).

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23 novembre 2021

Dans cette présentation, j'introduirai une nouvelle technique de réduction de modèle basée sur l'apprentissage machine pour les modèles cinétiques. Celle-ci sera développée sur le modèle de Vlasov-Poisson. En effet, il décrit l'évolution d'une distribution de particules chargées dans un champ électromagnétique. Ce champ pouvant être auto-consistant i.e. dépendant de la distribution susmentionnée, la dynamique peut être fortement non linéaire. Il existe des méthodes classiques inspirées de l'ACP mais elles sont peu efficaces dans le cas auto-consistant. Notre méthode, utilisant des réseaux de neurones, permet de réduire efficacement cette dynamique en un modèle réduit de petite dimension.

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16 novembre 2021

La prise en compte de la force de Coriolis liée à la rotation de la Terre dans les équations de Saint-Venant permet de modéliser des phénomènes d'écoulement de fluide à grande échelle. L'ajout de cette force induit l'apparition de nouveaux états stationnaires à préserver. Dans ce contexte, plusieurs travaux ont proposé des schémas numériques capables de préserver ceux au repos, i.e à vitesse nulle. Dans cette présentation, nous nous intéresserons à la construction de solveurs de Riemann approchés pour le modèle 1D, qui préservent tout ou partie des états stationnaires, et qui mènent à des schémas dits "well-balanced" ou "fully well-balanced". D'autre part, l'extension à l'ordre deux d'un schéma d'ordre 1 préservant tous les états stationnaires soulève plusieurs difficultés. Nous proposerons une méthode MUSCL basée sur des détecteurs d'équilibre pour répondre à cette question.

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9 novembre 2021

The Shallow Water system is one of the simplest yet accurate model describing fluid flows in a varying geometry delimited by a bottom topography and a free surface. The study of this model is valuable for numerous applications, including water management, forecasting natural disasters or understanding climate change. We are especially interested in the low Froude regime, where the material speed of fluid particles is much smaller than that of acoustic waves. This multi-scale dynamic has proven challenging to deal with from the numerical perspective, and implicit-explicit schemes are a good starting point as they allow for the use of scale-independent time steps. We then focus on the asymptotic behavior of such methods, insisting on the importance of preserving nearly-incompressible states. This is indeed a key ingredient for achieving accurate results.

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2 novembre 2021

Pas de séminaire : vacances scolaires

26 octobre 2021

Pas de séminaire : vacances universitaires

19 octobre 2021

Durant ces 20 dernières années, les descriptions cinétiques de matériaux granulaires ont reçu beaucoup d'attentions de la part de la communauté mathématique, ainsi que de disciplines plus appliquées, telles que la physique et l'ingénierie. Néanmoins, de nombreux problèmes mathématiques sont toujours ouverts, que ce soit au niveau de la modélisation, de l'analyse, ou des simulations numériques de ces modèles. Cet exposé a pour but de présenter certains de ces modèles, ainsi que de résultats mathématiques (très) récents sur le sujet... Nous discuterons aussi de développement numériques récents ayant permis d'énoncer des conjectures encore ouvertes. Cet exposé sera basé sur un travail en collaboration avec J. A. Carrillo, J. Hu et Z. Ma.

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12 octobre 2021

Dans ce travail nous proposons un schéma numérique, basé sur des éléments finis P1 avec condensation de masse, pour une équation parabolique non linéaire. Ce schéma permet de prendre en compte à la fois la dégénérescence et l'anisotropie sur maillages généraux. De plus, il préserve au niveau discret certaines des propriétés essentielles du système continu, telle que par exemple la dissipation de l'énergie physique. Nous nous intéressons également à l'analyse d'erreur a posteriori de cette méthode. Nous présentons plusieurs résultats numériques montrant l’efficacité de la méthode.
Ce travail a été réalisé en collaboration avec Clément Cancès et Martin Vohralik.

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5 octobre 2021

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28 septembre 2021

Pas de séminaire : centenaire de l'IMU

21 septembre 2021

Proposée récemment comme une alternative à la DFT PPLB dans l'optique d'étudier des systèmes à nombre fractionnaire d'électrons, nous détaillerons la construction mathématique de la DFT N-centrée afin de pouvoir y étendre méthodes Kohn-Sham et Kohn-Sham généralisée utilisées en DFT N-électronique et aborder des problématiques annexes (limite semi-classique, dimère de Hubbard).

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14 septembre 2021

Nous nous intéresserons dans cet exposé à l'équation de Schrödinger logarithmique (abrégé en logNLS), équation non-linéaire introduite en 1976 par Białynicki-Birula et Mycielski dans un modèle de mécanique des ondes linéaires en physique. Longtemps oublié par les mathématiciens, cette équation présente une dynamique originale, parfois surprenante comparée à celle des équations de Schrödinger non-linéaires usuellement étudiées, dont les non-linéarités sont régulières voire lisses (typiquement du type puissance). J'exposerai quelques propriétés de logNLS qui attestent de cette originalité, en me focalisant sur les résultats de comportement en temps long. En particulier, sera présenté plus en profondeur le cas du régime dispersif, dont la compréhension du comportement en temps grand est très avancée : la vitesse de dispersion est plus rapide d'un facteur logarithmique et le carré du module de la solution renormalisée converge faiblement dans L^1 vers une gaussienne universelle, ne dépendant pas des conditions initiales. Je montrerai que cette description peut être améliorée par une vitesse de convergence explicite et optimale en distance de Wasserstein-1 (aussi appelé métrique de Kantorovich-Rubinstein), indépendante de la constante semi-classique, et que cette convergence est également valable à la limite semi-classique.

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7 septembre 2021

À l’échelle microscopique, la locomotion à travers un fluide suit des lois différentes de celles de notre échelle (régime de Stokes). La recherche sur la natation de micro-organismes et la conception de micro-robots nageurs est notamment motivée par des applications biomédicales : par exemple, chirurgie non-invasive ou livraison d’une molécule à un endroit précis du corps. Cela nécessite bien sûr d’être capable de propulser et contrôler efficacement et précisément le micro-robot. La théorie du contrôle offre un bon cadre théorique pour répondre à ces problématiques. Ainsi, dans cet exposé, je présenterai quelques résultats de contrôlabilité et de contrôle de robots micro-nageurs. Dans un premier temps, j’étudierai la propulsion par champ magnétique externe pour un robot élastique, et montrerai qu’il n’est en général pas contrôlable au voisinage de sa position d’équilibre. Ensuite, je m’intéresserai au contrôle d’une particule à l’aide de la variation du flux environnant générée par un autre nageur ; je discuterai de la contrôlabilité du système associé et présenterai une méthode de planification de trajectoires.

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